А. А. Раровский: В соответствии с классификацией квазиоднородных особенностей, произвольный многочлен f, задающий такую особенность, раскладывается в сумму f = f_k+f_add. Многочлен f_k при этом имеет определенный вид, в то время как f_add ограничен лишь условием изолированности особенности многочлена f и о его явном виде мало что известно, если f является необратимым. В докладе мы дадим некоторое описание многочленов f_add для заданного необратимого многочлена f. Более того, для заданного f_k мы дадим явную конструкцию для построения f_add такого что f = f_κ + f_add задает изолированную квазиоднородную особенность. В случае, когда (f, Z/2Z) - орбифолд Ландау-Гинзбурга с таким f, мы приведем явную конструкцию многочлена f так что пары (f, Z/2Z) и (f, {id}) орбифолдно эквивалентны и дадим явный изоморфизм между их фробениусовыми алгебрами.

И. А. Толстухин: В докладе будет описан подход к изучению полиномиальных решений дифференциальных уравнений с регулярными особенностями посредством теории представлений, связанной с квантовой моделью Годена. Акцент будет сделан на уравнениях второго порядка с четырьмя регулярными особыми точками, известных как уравнения Гойна. Их полиномиальные решения можно получать как собственные векторы трехточечной sl₂ модели Годена. Будет рассказано о том, как с помощью квантового разделения переменных в модели Годена и анализа представлений некоторых квадратичных алгебр вывести интересные гипергеометерические выражения для многочленов Гойна.

М. Ю. Муравьёв: Одной из классических задач спектральной геометрии является задача сравнения спектров оператора Лапласа-Бельтрами с различными граничными условиями. В своих двух свежих работах Дж. Роледер получил продвижения в задаче сравнения спектра Дирихле со спектром Неймана для оператора Лапласа, и в задаче сравнения спектра Дирихле оператора Лапласа и спектра оператора curl curl. В обоих случаях продвижения получены за счет нового вариационного описания спектра некоторой квадратичной формы с носителем в поливекторах. В своей работе я перевожу подход Роледера на язык дифференциальных форм, обобщаю его на произвольную размерность и повторяю оба результата Роледера как следствие одной теоремы.

М. Н. Трошкин: Я расскажу про так называемые преобразования Дарбу-Бэклунда - конструкцию, которая по данной тау-функции иерархии Кадомцева-Петвиашвили строит семейство новых тау-функций. После напоминания про формализм фермионов (полубесконечного внешнего произведения и грассманиана Сато) для тау-функций КП, я опишу действие преобразований Дарбу-Бэклунда в этом формализме и некоторые его примечательные свойства.

Матрицы типа Коши довольно часто встречаются в задачах, связанных с интегрируемыми системами, будь то классическими (матрицы Лакса систем Калоджеро или Руйсенаарса), полевыми (солитонные решения КП) или квантово механическими (формулы для форм-факторов квантовых цепочек) В докладе будет дан обзор некоторых свойств для матриц Коши, а также, следствий из этих свойств для интегрируемых систем.

Вопросы о свойствах множества чисел вида x^2+y^2 и о других аналогичных множествах возникают в теории чисел со времён Ферма, который получил описание данного множества в мультипликативных терминах. Задачи об асимптотическом поведении считающей функции таких чисел восходят к Гауссу (проблема круга) и Ландау, который показал, что в отрезке [1,N] лежит (K+o(1))N/(ln N)^(1/2) сумм двух квадратов. Большой интерес представляют оценки для промежутков, не содержащих сумм двух квадратов. Предполагается, что для любого c>0 и достаточно больших X в отрезке [X,X+X^c] всегда есть сумма двух квадратов, но доказано это только для c>1/4. Мы построим функцию трёх переменных, которая является решением уравнения теплопроводности и "контролирует" распределение сумм двух квадратов в коротких интервалах. Свойства этой функции оказываются связаны с модулярными формами, функциями Бесселя и гипергеометрическими функциями.

В докладе будет рассказано, как потенциалы рода ноль теории Громова-Виттена эллиптических орбифолдов выражаются через квазимодулярные формы. Далее это выражение будет использовано для явного выражения потенциалов рода ноль А-моделей Ландау-Гинзбурга теории FJR элиптических особенностей. Буду обсуждены некоторые связанные сюжеты.

Рассматривается нормирование на пространстве ростков функций двух переменных, определяемое порядком функции на фиксированном ростке неприводимой кривой С. Его ряд Пуанкаре - производящий ряд размерностей факторпространств в фильтрации, состоящей из подпространств функций, для которых величина нормирования не меньше данной. (Имеется обобщение понятия ряда Пуанкаре на наборы нормирований.) Как оказалось, ряд Пуанкаре описанного нормирования на пространстве ростков голоморфных функций двух переменных по сути совпадает с многочленом Александера соответствующего алгебраического узла: пересечения кривой С с маленькой (трёхмерной) сферой с центром в начале координат (и поэтому определяет его топологию).

В случае, если описанное нормирование рассматривается на пространстве ростков вещественно аналитических функций, ситуация существенно отличается от той, которая имеет место в комплексном случае. В частности, возникают другие аналоги рядов Пуанкаре. Будут описаны ряды Пуанкаре для указанного нормирования в этом случае и обсуждено, насколько они определяют геометрию разрешения кривой. В частности, насколько ряд Пуанкаре нормирования на пространстве вещественных функций определяет вещественную топологию кривой.

Плоским аффинным многообразием называется многообразие с атласом, функции переклейки которого аффинны. Гессиановым многообразием называется плоское аффинное многообразие с метрикой, локально являющейся гессианом функции.

Одной из главных мотиваций к изучению гессиановой геометрии является её близкая связь с информационной геометрией — наукой, изучающей семейства вероятностных распределений средствами дифференциальной геометрии. 

Другой взгляд на гессианову геометрию происходит из её сходства с кэлеровой геометрией.  Кэлерова метрика локально является комплексным гессианом функции. Поэтому гессианова геометрия может рассматриваться как вещественный аналог кэлеровой геометрии.

Я расскажу, как гессианова геометрия происходит из информационной, о связи с кэлеровой геометрией и о том, что известно о классификации компактных и однородных гессиановым многообразий.

Доклад будет иметь обзорный характер.

Одной из основных задач бирациональной геометрии является классификация алгебраических многообразий с точностью до бирациональной эквивалентности. Уточняя эту задачу, можно
классифицировать алгебраические многообразия с дополнительной структурой, например, рассматривая многообразия с фиксированной (мероморфной) формой объема. При этом естественно рассматривать формы объема, имеющие полюса не более чем первого порядка. Группа классов эквивалентности многообразий с такой формой называется группой Бернсайда. Эта группа хороша тем, что в ней принимают значения некоторые естественные инварианты бирациональных отображеннией, сохраняющих форму объема на данном многообразии. Мы определим и изучим эти инварианты (иногда называемые “мотивными инвариантами”) для групп бирациональных автоморфизмов проективного пространства со “стандартной” торически-инвариантной формой. Мы покажем, что такие группы не являются простыми в любой размерности, начиная с четырех, а также что они не могут порождаться псевдо-регуляризуемыми элементами. Этот результат можно рассматривать как обобщение аналогичной теоремы для классической группы Кремоны, то есть группы бирациональных автоморфизмов проективного пространства.

Пусть X это алгебраическое многообразие над Q. Для него можно определить L функцию L(X,s), которая содержит информацию о том, сколько точек есть на Х по простому модулю. Пусть s>1 натуральное число. Гипотеза Бейлинсона дает гипотетический способ вычислить значение L(X,s) через отображение регулятора, определенного на мотивных когомологиях X. В докладе я хочу разобрать случай, когда X - это эллиптическая кривая над Q и s=2,3. В этом случае мотивные когомологии X, а также отображение регулятора могут быть описаны явно.  

Две квантовые интегрируемые системы, одна связанная с алгеброй Ли gl(k), другая - с алгеброй Ли gl(n), называются (gl(k),gl(n))-двойственными, если образы алгебр высших гамильтонианов этих систем в каком-то представлении совпадают. Я расскажу о неизвестном ранее примере такой двойственности, связанном с конструкцией Г. И. Ольшанского, описывающей централизатор алгебры U(gl(k)) в алгебре U(gl(n+k)) как образ Янгиана Y(gl(n)). 

Вложенная в пространство-время времениподобная гиперповерхность называется фотонной, если всякая светоподобная геодезическая, изначально касательная к этой гиперповерхности, остаётся касательной к ней в течении всего времени её существования. Это эквивалентно тому, что фотонная поверхность является вполне омбилической гиперповерхностью в данном пространстве-времени. Эти поверхности интересны с физической точки зрения, поскольку тесно связаны с понятием гравитационного линзирования. Однако, они интересны и с чисто математической точки зрения, поскольку с их помощью можно доказывать теоремы существования и единственности некоторых решений уравнения Эйнштейна, что весьма сложно реализовать с помощью стандартных методов теории уравнений с частными производными. Докладчик расскажет, как недавно введенное в литературу понятие статического многообразия с краем связано с понятием фотонной поверхности, и как они могут быть использованы в задачи классификации статических многообразий с краем.