Две лекции А.Б. Жеглова (МГУ им. М.В. Ломоносова, НИУ ВШЭ) про развитую им технику, применённую им для доказательства гипотезы Диксмье (arX:2410.06959) для первой алгебры Вейля состоятся 20 и 22 ноября 2024 на факультете математики.

Аудитория 109, начало в 18:00

Теория Шура-Сато и нормальные формы для дифференциальных операторов

Аннотация: В своем докладе я дам обзор полученных мной, а также совместно с соавторами результатов, относящихся к проблеме классификации коммутирующих (скалярных) дифференциальных, или, более общо, дифференциально-разностных или интегрально-дифференциальных операторов от нескольких переменных. Проблема, при некоторых разумных ограничениях, по сути сводится к описанию проективных алгебраических многообразий, имеющих непустое пространство модулей пучков без кручения с фиксированным многочленом Гильберта.
 
Рассматривая кольцо  дифференциальных операторов D_n=K[[x_1, … , x_n]][d] как подкольцо некоторого полного некоммутативного кольца $\hat{D}_n^{sym}$ (отличного от известного кольца формальных псевдодифференциальных операторов!), нормальные формы дифференциальных операторов, упомянутые в заголовке, получаются после сопряжения на некоторый обратимый оператор («оператор Шура»), вычисляемый с помощью одного из операторов в кольце, и являющийся аналогом многомерной функции Бейкера-Ахиезера.
 
Нормальные формы коммутирующих операторов — это многочлены с постоянными коэффициентами от операторов дифференцирования, интегрирования и сдвига, имеющие конечный порядок по каждой переменной, и могут быть эффективно вычислены для любых заданных коммутирующих операторов. 
 
Я расскажу о некоторых приложениях теории нормальных форм: эффективной параметризации пространства модулей пучков без кручения с нулевыми когомологиями на проективной кривой, а также о соответствии между решениями уравнения струны [P,Q]=1 в кольце дифференциальных операторов (и в частности, в первой алгебре Вейля) и парами коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов ранга один. Решения уравнения струны в первой алгебре Вейля описывают всевозможные ее эндоморфизмы, и таким образом удается получить новые условия, выделяющие эндоморфизмы, не являющиеся автоморфизмами (проблема Диксмье для первой алгебры Вейля). Аналогичное описание пространства модулей спектральных пучков на спектральных многообразиях для колец коммутирующих операторов ожидается и в произвольной размерности. В произвольной размерности также имеется связь с гипотезами Диксмье для алгебр Вейля: эндоморфизмы можно реализовать как сопряжение с помощью подходящего оператора Шура, и таким образом гипотезы сводятся к проблеме рациональности оператора.